Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 2

Единичная матрица размера $2$ представляет собой квадратную матрицу $2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 + 0 \\ - 2 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $4$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 \\ - 2 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 \\ - 2 & - 4 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Развернем $(3 - λ) (- 4 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 3 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 3 \cdot - 4 + 3 (- λ) - λ (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 3 \cdot - 4 + 3 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Умножим $3$ на $- 4$ .

$p (λ) = - 12 + 3 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.2.1.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.2.2

Добавим $- 3 λ$ и $4 λ$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- (- 2 \cdot 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} - - 8$

Этап 5.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} + 8$

Этап 5.2.2

Добавим $- 12$ и $8$ .

$p (λ) = λ + λ^{2} - 4$

Этап 5.2.3

Изменим порядок $λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + λ - 4$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$λ^{2} + λ - 4 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $λ$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.3

Добавим $1$ и $16$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Этап 7.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$λ = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$λ = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Десятичная форма:

$λ = 1.56155281 \dots, - 2.56155281 \dots$